BookStation

 Το βιβλίο αποτελεί ένα διεθνώς καταξιωμένο σύγραμμα στην περιοχή των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων, περιοχή η οποία αποτελεί το κατ' εξοχήν εργαλείο μοντελοποίησης φυσικών διαδικασιών και προβλημάτων που ανακύπτουν στην τεχνολογία και ευρύτερα στις επιστήμες. Η παρουσίαση είναι μοναδική καθώς ο συγγραφέας διατηρεί στενή επαφή με το φυσικό πρόβλημα. Παρουσιάζονται με διδακτικό τρόπο τόσο τα βασικά όσο και τα προχωρημένα αντικείμενα και δίνεται έμφαση στην αποσαφήνιση της λογικής που οδηγεί στις συγκεκριμένες αποδεικτικές διαδικασίες

Mερικές Διαφορικές Εξισώσεις Mια εισαγωγή Μερικές διαφορικές εξισώσεις. Μια εισαγωγή 2η έκδοση Copyright © 2017 Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. Πρωτότυπη έκδοση: Walter A. Strauss, Partial Differential Equations 2nd edition Copyright © 2008, John Wiley & Sons, Inc. Αll rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in retrieval system or transmitted in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, scanning or otherwise, except as permitted under Sections 107 or 108 of the 1976 United States Copyright Act, without either the prior written permission of the Publisher, or authorization through payment of the appropriate per-copy fee to the Copyright Clearance Center, Inc., 222 Rosewood Drive, Danvers, MA 01923, website www. copyright.com. Requests to the Publisher for permission shoud be addressed to the Permissions Department, John Wiley & Sons, Inc., 111 River Street, Hoboken, NJ 07030-5774, (201)748-6011, fax (201)748-6008, website http://www.wiley.com/go/permissions. Μετάφραση Θεοφάνης Γραμμένος, Επίκουρος Καθηγητής Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Ανδρομάχη Σπανού, Διδάκτωρ Φυσικός Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Ε.Μ.Π. Επιστημονική επιμέλεια Δρόσος Γκιντίδης, Αναπληρωτής Καθηγητής Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Ε.Μ.Π. Κυριακή Κυριάκη, Καθηγήτρια Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Ε.Μ.Π. Ηλεκτρονική επεξεργασία - επιμέλεια Ανδρομάχη Σπανού, Διδάκτωρ Φυσικός Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Ε.Μ.Π. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ Ε.Μ.Π. Θωμαΐδειο Κτήριο Εκδόσεων Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 157 80 Ζωγράφου Τηλ.: 210 772 2578, fax: 210 772 1127 e-mail: ntuapres@central.ntua.gr www.ntua.gr/ntuapress ISBN: 978-960-254-702-1 Μερικές διαφορικές εξισώσεις. Μια εισαγωγή 2η έκδοση Copyright © 2017 Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. Πρωτότυπη έκδοση: Walter A. Strauss, Partial Differential Equations 2nd edition Copyright © 2008, John Wiley & Sons, Inc. Αll rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in retrieval system or transmitted in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, scanning or otherwise, except as permitted under Sections 107 or 108 of the 1976 United States Copyright Act, without either the prior written permission of the Publisher, or authorization through payment of the appropriate per-copy fee to the Copyright Clearance Center, Inc., 222 Rosewood Drive, Danvers, MA 01923, website www. copyright.com. Requests to the Publisher for permission shoud be addressed to the Permissions Department, John Wiley & Sons, Inc., 111 River Street, Hoboken, NJ 07030-5774, (201)748-6011, fax (201)748-6008, website http://www.wiley.com/go/permissions. Μετάφραση Θεοφάνης Γραμμένος, Επίκουρος Καθηγητής Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Ανδρομάχη Σπανού, Διδάκτωρ Φυσικός Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Ε.Μ.Π. Επιστημονική επιμέλεια Δρόσος Γκιντίδης, Αναπληρωτής Καθηγητής Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Ε.Μ.Π. Κυριακή Κυριάκη, Καθηγήτρια Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Ε.Μ.Π. Ηλεκτρονική επεξεργασία - επιμέλεια Ανδρομάχη Σπανού, Διδάκτωρ Φυσικός Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Ε.Μ.Π. Mερικές Διαφορικές Εξισώσεις Μια εισαγωγή Walter A. Strauss Brown University Μετάφραση Θεοφάνης Γραμμένος Επίκουρος Καθηγητής Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Ανδρομάχη Σπανού Διδάκτωρ Φυσικός Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Ε.Μ.Π. Επιστημονική επιμέλεια Δρόσος Γκιντίδης Αναπληρωτής Καθηγητής ΣΕΜΦΕ Ε.Μ.Π. Κυριακή Κυριάκη Καθηγήτρια ΣΕΜΦΕ Ε.Μ.Π. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ Ε.Μ.Π. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η κατανόηση που διαθέτουμε για τις θεμελιώδεις διαδικασίες του φυσικού κόσμου βασίζε- ται σε μεγάλο βαθμό σε μερικές διαφορικές εξισώσεις. Παραδείγματα αποτελούν οι ταλα- ντώσεις στερεών σωμάτων, η ροή ρευστών, η διάχυση χημικών ουσιών, η διάδοση θερμό- τητας, η δομή των μορίων, οι αλληλεπιδράσεις φωτονίων και ηλεκτρονίων, και η ακτινοβο- λία ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Οι μερικές διαφορικές εξισώσεις παίζουν επίσης κεντρικό ρόλο στα σύγχρονα Μαθηματικά, ιδιαίτερα στη γεωμετρία και την ανάλυση. Η ύπαρξη ισχυ- ρών ηλεκτρονικών υπολογιστών βαθμιαία μετατοπίζει την έμφαση στις μερικές διαφορικές εξισώσεις από την αναλυτική επίλυσή τους προς την αριθμητική επίλυση και την ποιοτική θεωρία. Το παρόν βιβλίο αποτελεί μια εισαγωγή στις βασικές ιδιότητες των μερικών διαφορικών εξισώσεων (ΜΔΕ) και τις τεχνικές που αποδείχθηκαν χρήσιμες στη μελέτη τους. Σκοπός μου είναι να προσφέρω στον φοιτητή μια ευρεία προοπτική για αυτό το γνωστικό αντι- κείμενο, να αποτυπώσω την πλούσια ποικιλία φαινομένων που περιλαμβάνει, και να μετα- δώσω μια λειτουργική γνώση των πιο σημαντικών τεχνικών επίλυσης των εξισώσεων. Μία από τις σπουδαιότερες τεχνικές επίλυσης είναι η μέθοδος χωρισμού των μεταβλη- τών. Σε πολλά συγγράμματα δίνεται ιδιαίτερη έμφαση σε αυτή την τεχνική με αποτέλεσμα να παραλείπονται άλλες θεωρήσεις. Το πρόβλημα με αυτή την προσέγγιση είναι ότι μέσω αυτής της τεχνικής μπορούν να λυθούν μόνο συγκεκριμένα είδη μερικών διαφορικών εξι- σώσεων. Σε αυτό το βιβλίο η τεχνική αυτή παίζει σημαντικό ρόλο, αλλά δεν επισκιάζει τις υπόλοιπες μεθόδους. Σε άλλα συγγράμματα, όπου παρουσιάζονται σχετικά προχωρημένες θεωρητικές ιδέες, απαιτείται από τον μέσο προπτυχιακό φοιτητή υπερβολικά μεγάλη μα- θηματική γνώση. Εδώ προσπάθησα να ελαχιστοποιήσω τις προχωρημένες έννοιες και τη μαθηματική ιδιόλεκτο. Ωστόσο, επειδή οι μερικές διαφορικές εξισώσεις βρίσκονται στην αιχμή της έρευνας στη σύγχρονη επιστήμη, δεν έχω διστάσει να αναφέρω προχωρημένες ιδέες ως θέματα, στα οποία μπορεί να εμβαθύνει ο ανήσυχος φοιτητής. Το παρόν βιβλίο απευθύνεται σε προπτυχιακούς φοιτητές. Έχει σχεδιασθεί για τριτοε- τείς και τεταρτοετείς φοιτητές Φυσικής, Μαθηματικών, ή Πολυτεχνικών Σχολών. Οι μετα- πτυχιακοί φοιτητές, ειδικότερα της Φυσικής, ασφαλώς μπορούν να μάθουν από αυτό, αλλά με κανένα τρόπο δεν αποτελεί μεταπτυχιακό σύγγραμμα. Το κύριο προαπαιτούμενο είναι η στέρεη γνώση απειροστικού λογισμού, ειδικότερα πολλών μεταβλητών. Στα άλλα προαπαιτούμενα συγκαταλέγονται κάποιες γνώσεις συνή- θων διαφορικών εξισώσεων και γραμμικής άλγεβρας σε έκταση αρκετά μικρότερη εκείνης ενός εξαμηνιαίου μαθήματος. Ωστόσο, επειδή το αντικείμενο των μερικών διαφορικών εξι- σώσεων από την ίδια τη φύση του δεν είναι εύκολο, στους δικούς μου φοιτητές συστήνω να έχουν ήδη παρακολουθήσει προηγουμένως πλήρη εξαμηνιαία μαθήματα στα δύο αντι- κείμενα που προανέφερα. vii viii ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρουσίαση της ύλης βασίζεται στις ακόλουθες αρχές. Παίρνουμε το κίνητρο από τη Φυσική αλλά στη συνέχεια κάνουμε Μαθηματικά. Εστιάζουμε στις τρεις κλασικές εξι- σώσεις: όλες οι σημαντικές ιδέες μπορούν να κατανοηθούν με τη βοήθειά τους. Μελετάμε την περίπτωση μίας χωρικής διάστασης προτού προχωρήσουμε σε δύο και τρεις διαστάσεις με τις πιο περίπλοκες γεωμετρίες τους. Λύνουμε προβλήματα χωρίς σύνορα προτού εισά- γουμε συνοριακές συνθήκες (Με την ολοκλήρωση του Κεφαλαίου 2, ο φοιτητής θα διαθέ- τει ήδη μια τόσο διαισθητική όσο και αναλυτική κατανόηση απλών κυματικών φαινομένων και φαινομένων διάχυσης). Δεν διστάζουμε να παρουσιάσουμε κάποια αποτελέσματα χωρίς απόδειξη, ωστόσο παρέχουμε τις πιο σημαντικές αποδείξεις. Παρουσιάζουμε σε εισαγωγικό επίπεδο μια ποικιλία από σημαντικά προχωρημένα θέματα. Το βιβλίο αυτό περιέχει αρκετό υλικό για ένα ετήσιο μάθημα. Ένα αρκετά χαλαρό εξαμη- νιαίο μάθημα μπορεί να καλυφθεί από τις ενότητες με αστερίσκο στα Κεφάλαια 1-6. Για ένα πιο φιλόδοξο εξαμηνιαίο μάθημα οι βασικές ενότητες με αστερίσκο μπορούν να συμπληρω- θούν με διαφόρους τρόπους. Οι ενότητες χωρίς αστερίσκο στα Κεφάλαια 1-6 μπορούν να διδαχθούν κατά βούληση. Μια υπολογιστική έμφαση μετά από τις ενότητες με αστερίσκο μπορεί να δοθεί από την αριθμητική ανάλυση στο Κεφάλαιο 8. Για τη συνέχιση του χωρι- σμού των μεταβλητών μετά από το Κεφάλαιο 6, μπορεί να χρησιμοποιηθεί το Κεφάλαιο 10. Για φοιτητές Φυσικής είναι δυνατός κάποιος συνδυασμός των Κεφαλαίων 9, 12, 13 και 14. Ένα παραδοσιακό μάθημα προβλημάτων συνοριακών τιμών μπορεί να καλυφθεί από τα κεφάλαια 1, 4, 5, 6 και 10. Κάθε κεφάλαιο διαιρείται σε ενότητες που συμβολίζονται με Α.Β. Μια εξίσωση με αριθμό (Α.Β.Γ.) αναφέρεται στην εξίσωση Γ της ενότητας Α.Β. Κάθε αναφορά στην εξίσωση (Γ) αναφέρεται στην εξίσωση της ίδιας ενότητας. Παρόμοιο σύστημα χρησιμοποιείται για την αρίθμηση θεωρημάτων και ασκήσεων. Οι βιβλιογραφικές παραπομπές υποδηλώνονται με αγκύλες, π.χ. [AS]. Θέλω να ευχαριστήσω ιδιαίτερα τους συναδέλφους μου για τη βοήθειά τους. Ειδικό- τερα ευχαριστώ τους Yue Liu και Brian Loe για την εκτεταμένη βοήθειά τους στις ασκήσεις, καθώς και τους Κώστα Δαφέρμο, Bob Glassey, Jerry Goldstein, Μάνο Γρυλλάκη, Yan Guo, Chris Jones, Keith Lewis, Gustavo Perla Menzala και Bob Seeley για τις υποδείξεις και τις διορθώσεις που έκαναν. Walter A. Strauss ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ Στα χρόνια που παρήλθαν από την πρώτη έκδοση, οι μερικές διαφορικές εξισώσεις απέκτη- σαν ακόμη πιο εξέχοντα ρόλο τόσο ως μοντέλο για επιστημονικές θεωρίες όσο και γενικά εντός των Μαθηματικών. Στη δεύτερη έκδοση πρόσθεσα 30 νέες ασκήσεις. Επιπλέον, η πα- ρούσα έκδοση συνοδεύεται από ένα παράρτημα λύσεων που περιέχει λεπτομερώς επεξερ- γασμένες απαντήσεις σε περίπου τις μισές ασκήσεις του βιβλίου. Πρόσθεσα μία νέα ενότητα περί υδάτινων κυμάτων, καθώς και νέο υλικό και επεξηγηματικά σχόλια σε πολλά σημεία. Όπου κρίθηκε αναγκαίο έγιναν διορθώσεις. Δράττομαι της ευκαιρίας να ευχαριστήσω όλους όσοι επεσήμαναν σφάλματα στην πρώ- τη έκδοση ή έκαναν χρήσιμες υποδείξεις, συμπεριλαμβανομένων των Andrew Bernoff, Rustum Choksi, Adrian Constantin, Leonid Dickey, Julio Dix, Craig Evans, A. M. Fink, Robert Glassey, Jerome Goldstein, Leon Greenberg, Chris Hunter, Eva Kallin, Jim Kelliher, Jeng-Eng Lin, Howard Liu, Jeff Nunemacher, Βασίλη Παπανικολάου, Mary Pugh, Stan Richardson, Stuart Rogers, Paul Sacks, Naoki Saito, Stephen Simons, Catherine Sulem, David Wagner, David Weinberg και Nick Zakrasek. Οι θερμότερες ευχαριστίες μου απευθύνονται στους Julie και Steve Levandosky που, εκτός του ότι υπήρξαν συν-συγγραφείς στο παράρ- τημα των λύσεων, έκαναν πολλές υποδείξεις και είχαν πολλές ιδέες αναφορικά με το κείμενο καθεαυτό. ix ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ Ο Τομέας Μαθηματικών της Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστη- μών του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου, αναλαμβάνοντας την πρωτοβουλία της με- τάφρασης του βιβλίου «PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS, An Introduction» του Walter A. Strauss, φέρνει στον ελληνικό ακαδημαϊκό χώρο ένα σημαντικό βιβλίο στην πε- ριοχή των μερικών διαφορικών εξισώσεων. Το βιβλίο του Strauss καλύπτει, με εξαιρετικό ύφος, μια περιοχή των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών που βρίσκεται στην πρώτη γραμμή των εφαρμογών, καθώς αποτελεί το κατ? εξοχήν εργαλείο μοντελοποίησης φυσικών διαδικασιών, προβλημάτων που ανακύπτουν στην τεχνολογία, αλλά και ευρύτερα στον χώρο των θετικών επιστημών. Το περιεχόμενο του βιβλίου παρουσιάζει ευρύτητα και καλύπτει πλείστες όσες πλευρές του σημαντικού αυ- τού αντικειμένου, ποικίλης δυσκολίας. Η παρουσίαση είναι μοναδική, διότι με την έμφαση στις τρεις κλασικές εξισώσεις, την εξίσωση Laplace, την κυματική εξίσωση και την εξίσωση της θερμότητας, δίνεται η δυνατότητα στον αναγνώστη να αντλήσει ενδιαφέρουσες ιδέες για την κατανόηση πολυπλοκότερων προβλημάτων. Ο συγγραφέας επιλέγει να παραθέσει όλες τις κλασικές τεχνικές επίλυσης μερικών διαφορικών εξισώσεων, χωρίς όμως αυτές να κυριαρχούν στο βιβλίο, ενώ παράλληλα εισάγει τον αναγνώστη και σε πιο προχωρημένα θέματα. Τόσο προβλήματα χωρίς σύνορο όσο και συνοριακά προβλήματα, η προσέγγιση του χωρισμού των μεταβλητών, οι ταυτότητες Green και οι συναρτήσεις Green, η μελέτη των σειρών Fourier και των ποιοτικών χαρακτηριστικών τους, κυματικά φαινόμενα με ενερ- γειακά επιχειρήματα, προβλήματα ιδιοτιμών για τυχαία χωρία, η αρχή ελαχίστου-μεγίστου, η καταγραφή της πληρότητας και των ασυμπτωτικών ιδιοτήτων των ιδιοτιμών προβλημά- των συνοριακών τιμών, μια εισαγωγή στη θεωρία κατανομών και μια εκ νέου θεώρηση των συναρτήσεων Green, προβλήματα από τη Φυσική και τέλος μια άκρως ενδιαφέρουσα ει- σαγωγή σε μη γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις, κρουστικά κύματα και σολιτόνια, από τα πιο βασικά αντικείμενα έως τα πιο προχωρημένα, όλα παρουσιάζονται με διδακτικό τρόπο. Σε ολόκληρο το βιβλίο, ο συγγραφέας κρατά στενή επαφή με το φυσικό πρόβλημα. Οι αποδεικτικές διαδικασίες είναι απόλυτα κατανοητές, καθώς δίνεται έμφαση στην απο- σαφήνιση της λογικής που οδηγεί στην υιοθέτηση των ακολουθούμενων στρατηγικών. Η αμεσότητα της γραφής, που πολλές φορές μοιάζει με προφορικό λόγο, προσδίδει στο κεί- μενο μια ζωντάνια που συνεπαίρνει τον αναγνώστη και τον κάνει κοινωνό μιας «διάλεξης» του συγγραφέα, σαν αυτές τις άκρως παιδαγωγικές και ενδιαφέρουσες του χαρισματικού δασκάλου, όπως μαρτυρούν οι μαθητές του. Η διεξοδική εξέταση των θεμάτων από διάφο- ρες οπτικές και το ξανακοίταγμά τους με ανελικτικό βαθμό δυσκολίας, συμβάλλουν στην ουσιαστική κατανόηση των εννοιών. xi xii ΠΡΟΛΟΓΟΣ Όπως τονίζει ο συγγραφέας, το υλικό του βιβλίου απευθύνεται κυρίως σε προπτυχια- κούς φοιτητές, ωστόσο μέρος του βιβλίου μπορεί να φανεί, λόγω της υψηλής εμβάθυνσης στη θεώρηση των γνωστικών αντικειμένων, εξαιρετικά χρήσιμο και σε μεταπτυχιακούς φοι- τητές. Γνωρίζοντας καλά τα προγράμματα σπουδών των πανεπιστημίων μας, πιστεύω ότι μια κατάλληλη επιλογή κεφαλαίων του βιβλίου μπορεί πράγματι να αποτελέσει το υλικό ενός βασικού εξαμηνιαίου προπτυχιακού μαθήματος μερικών διαφορικών εξισώσεων, ενώ μια διαφορετική επιλογή κεφαλαίων μπορεί να αποτελέσει την ύλη για ένα προχωρημένο προπτυχιακό μάθημα κατάλληλο για φοιτητές μαθηματικών σχολών. Έχοντας την ευθύνη του συντονισμού της προσπάθειας αυτής θα ήθελα να σας μετα- φέρω τον ενθουσιασμό όλων όσοι δουλέψαμε για την πραγμάτωση αυτού του εγχειρήματος. Πηγή του ενθουσιασμού μας ήταν ότι αφενός δουλέψαμε πάνω σε ένα εξαίρετο κείμενο και αφετέρου ότι επαναλάβαμε μια, ήδη δοκιμασμένη, άψογη συνεργασία. Όλοι οι συμμετέχο- ντες σ? αυτό το εγχείρημα είχαμε την εμπειρία προηγούμενης μεταφραστικής δουλειάς που μας είχε ανατεθεί από τον Τομέα Μαθηματικών στην περιοχή των συνήθων διαφορικών εξι- σώσεων. Ο κ. Θεοφάνης Γραμμένος, επικ. καθηγητής του Πανεπιστημίου Θεσσαλίας και η κ. Αδρομάχη Σπανού, δρ. φυσικός, ανέλαβαν το βάρος της μετάφρασης, ενώ η κ. Σπανού ανέ- λαβε επιπλέον το απαιτητικό έργο της πλήρους γραφής και ηλεκτρονικής στοιχειοθεσίας του κειμένου σε κώδικα X LE ATEX. Η ηλεκτρονική στοιχειοθεσία οδήγησε σε άρτιο αισθη- τικό αποτέλεσμα με την ανιδιοτελή συμβολή του Απόστολου Συρόπουλου, ο οποίος, εκτός των όσων έχει προσφέρει στην ελληνική κοινότητα των χρηστών του κώδικα LATEX, μας βο- ήθησε καθοριστικά στην ηλεκτρονική σχεδίαση του βιβλίου. Την επιστημονική επιμέλεια του κειμένου είχαμε ο κ. Δρόσος Γκιντίδης, αν. καθηγητής του ΕΜΠ κι εγώ. Μεταφραστές και επιμελητές συνδεόμαστε φιλικά πολλά χρόνια, έχουμε κοινό ερευνητικό έργο και συ- νεργαζόμαστε απολαμβάνοντας τη διεξοδική συζήτηση, την ανταλλαγή απόψεων και τη λεπτομερειακή ανάλυση. Τέλος, θα ήθελα να εκφράσω τις ευχαριστίες μας στην κα ?ννα Τσαχουρίδου από τις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις ΕΜΠ για τη βοήθεια που μας προσέφερε στα σχήματα του βιβλίου. Η δαπάνη έκδοσης του βιβλίου καλύφθηκε από το «Κληροδότημα Χρίστου Παπακυρια- κόπουλου». Ο διακεκριμένος έλληνας μαθηματικός που άφησε όλη την περιουσία του στο ΕΜΠ, αποτελεί πρότυπο αξιών και προσφοράς. Ο Τομέας Μαθηματικών διαχειριζόμενος το Κληροδότημα, από τα έσοδα της περιουσίας και από την κυκλοφορία των συγγραμμά- των που εκδίδει, απόλυτα προσηλωμένος στο όραμα του δωροθέτη, χορηγεί υποτροφίες αριστείας σε προπτυχιακούς φοιτητές και υποψήφιους διδάκτορες και υποστηρίζει ερευνη- τικές δραστηριότητες του Τομέα Μαθηματικών. Έχοντας διδάξει για πολλά χρόνια το αντικείμενο των μερικών διαφορικών εξισώσεων σε βασικό και προχωρημένο προπτυχιακό επίπεδο, καθώς και σε μεταπτυχιακό επίπεδο, εί- μαι ιδιαίτερα ευτυχής που με αυτή την προσπάθεια δίνουμε στους φοιτητές μας, αλλά και σε κάθε ενδιαφερόμενο αναγνώστη, την ευκαιρία να μάθουν, να εμβαθύνουν σε αυτή τη σημαντική περιοχή των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών με οδηγό ένα τόσο καλό, διεθνώς αναγνωρισμένο, μοναδικό σύγγραμμα. Κυριακή Κυριάκη, καθηγήτρια Τομέας Μαθηματικών, ΣΕΜΦΕ, ΕΜΠ Απρίλιος 2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ (Οι ενότητες με αστερίσκο αποτελούν το βασικό μέρος του βιβλίου) Κεφάλαιο 1/Πώς προκύπτουν οι μερικές διαφορικές εξισώσεις 1.1∗ Τι είναι μια μερική διαφορική εξίσωση; 1 1.2∗ Γραμμικές εξισώσεις πρώτης τάξης 6 1.3∗ Ροές, ταλαντώσεις και διαδικασίες διάχυσης 10 1.4∗ Αρχικές και συνοριακές συνθήκες 20 1.5 Καλά τοποθετημένα προβλήματα 26 1.6 Είδη εξισώσεων δεύτερης τάξης 29 Κεφάλαιο 2/Κύματα και διαδικασίες διάχυσης 2.1∗ Η κυματική εξίσωση 35 2.2∗ Αιτιότητα και ενέργεια 41 2.3∗ Η εξίσωση διάχυσης 44 2.4∗ Διάχυση σε ολόκληρη την ευθεία των πραγματικών αριθμών 49 2.5∗ Σύγκριση κυμάτων και διαδικασιών διάχυσης 56 Κεφάλαιο 3/Ανακλάσεις και πηγές 3.1 Διάχυση στην ημιευθεία των πραγματικών αριθμών 59 3.2 Ανακλάσεις κυμάτων 63 3.3 Διάχυση με πηγή 69 3.4 Κύματα με πηγή 73 3.5 Μια εκ νέου θεώρηση της διάχυσης 83 Κεφάλαιο 4/Συνοριακά προβλήματα 4.1∗ Χωρισμός των μεταβλητών, η συνθήκη Dirichlet 87 4.2∗ Η συνθήκη Neumann 92 4.3∗ Η συνθήκη Robin 95 Κεφάλαιο 5/Σειρές Fourier 5.1∗ Οι συντελεστές 107 5.2∗ ?ρτιες, περιττές, περιοδικές και μιγαδικές συναρτήσεις 115 5.3∗ Ορθογωνιότητα και γενικές σειρές Fourier 121 xiii xiv ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 5.4∗ Πληρότητα 128 5.5 Πληρότητα και το φαινόμενο Gibbs 140 5.6 Μη ομογενείς συνοριακές συνθήκες 151 Κεφάλαιο 6/Αρμονικές συναρτήσεις 6.1∗ Η εξίσωση Laplace 157 6.2∗ Ορθογώνια και κύβοι 166 6.3∗ Ο τύπος του Poisson 170 6.4 Κύκλοι, κυκλικοί τομείς και δακτύλιοι 177 (Μπορείτε να μελετήσετε τα επόμενα τέσσερα κεφάλαια με οποιαδήποτε σειρά) Κεφάλαιο 7/Ταυτότητες Green και συναρτήσεις Green 7.1 Πρώτη ταυτότητα Green 183 7.2 Δεύτερη ταυτότητα Green 190 7.3 Συναρτήσεις Green 193 7.4 Ημιχώρος και σφαίρα 196 Κεφάλαιο 8/Αριθμητικός υπολογισμός λύσεων 8.1 Δυνατότητες και κίνδυνοι 205 8.2 Προσεγγίσεις σε διαδικασίες διάχυσης 209 8.3 Προσεγγίσεις σε κύματα 217 8.4 Προσεγγίσεις στην εξίσωση Laplace 225 8.5 Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων 230 Κεφάλαιο 9/Κύματα στον χώρο 9.1 Ενέργεια και αιτιότητα 235 9.2 Η κυματική εξίσωση στον χωρόχρονο 242 9.3 Ακτίνες, ιδιομορφίες και πηγές 250 9.4 Η εξίσωση διάχυσης και η εξίσωση Schrödinger 256 9.5 Το άτομο του υδρογόνου 262 Κεφάλαιο 10/Σύνορα στο επίπεδο και τον χώρο 10.1 Μια εκ νέου θεώρηση της μεθόδου Fourier 267 10.2 Ταλαντώσεις επίπεδης μεμβράνης τυμπάνου 273 10.3 Χωρικές ταλαντώσεις σε σφαίρα 279 10.4 Κόμβοι 287 10.5 Συναρτήσεις Bessel 290 10.6 Συναρτήσεις Legendre 297 10.7 Στροφορμή στην κβαντική μηχανική 302 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xv Κεφάλαιο 11/Γενικά προβλήματα ιδιοτιμών 11.1 Οι ιδιοτιμές είναι ελάχιστα της δυναμικής ενέργειας 307 11.2 Υπολογισμός ιδιοτιμών 312 11.3 Πληρότητα 317 11.4 Συμμετρικοί διαφορικοί τελεστές 322 11.5 Πληρότητα και χωρισμός των μεταβλητών 325 11.6 Ασυμπτωτική συμπεριφορά των ιδιοτιμών 329 Κεφάλαιο 12/Κατανομές και μετασχηματισμοί 12.1 Κατανομές 339 12.2 Μια εκ νέου θεώρηση των συναρτήσεων Green 346 12.3 Μετασχηματισμοί Fourier 351 12.4 Συναρτήσεις πηγής 357 12.5 Τεχνικές μετασχηματισμού Laplace 361 Κεφάλαιο 13/Προβλήματα ΜΔΕ από τη Φυσική 13.1 Ηλεκτρομαγνητισμός 367 13.2 Ρευστά και ακουστική 371 13.3 Σκέδαση 375 13.4 Συνεχές φάσμα 380 13.5 Εξισώσεις στοιχειωδών σωματιδίων 383 Κεφάλαιο 14/Μη γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις 14.1 Κρουστικά κύματα 389 14.2 Σολιτόνια 399 14.3 Λογισμός των μεταβολών 406 14.4 Θεωρία διακλαδώσεων 410 14.5 Υδάτινα κύματα 416 Παράρτημα Α.1 Συνεχείς και παραγωγίσιμες συναρτήσεις 423 Α.2 Σειρές συναρτήσεων 427 Α.3 Διαφόριση και ολοκλήρωση 429 Α.4 Διαφορικές εξισώσεις 433 Α.5 Η συνάρτηση Γάμμα 434 Βιβλιογραφία 437 Απαντήσεις και υποδείξεις σε επιλεγμένες ασκήσεις 441 Ευρετήριο 457