BookStation

 Το βιβλίο "Ανώτερα Μαθηματικά " απευθύνεται σε προπτυχιακούς φοιτητές των πανεπιστημιακών σχολών που ενδιαφέρονται στις εφαρμογές των μαθηματικών, ιδίως σε θέματα Οικονομικών και Διοικητικών Επιστημών και Πληροφορικής, καθώς και σε όσους σκοπεύουν να παρακολουθήσουν ένα μεταπτυχιακό πρόγραμμα σαυτές τις κατευθύνσεις. Το περιεχόμενο αντιστοιχεί στην ύλη τριών εξαμήνων και καλύπτει Μαθηματικό Λογισμό, Γραμμική Αλγεβρα και Γραμμική Δυναμική. Στο τέλος δίνονται σε χωριστά κεφάλαια και κάποιες εφαρμογές σε θέματα της οικονομικής επιστήμης. Χωρίζεται σε τέσσερα μέρη, σε μεγάλο βαθμό ανεξάρτητα μεταξύ τους, ως εξής: Μαθηματικός Λογισμός Αποτελείται από δεκατρία κεφάλαια που καλύπτουν την βασική θεωρία της παραγώγου και του ολοκληρώματος συναρτήσεων. Ειδικότερα:

I. Στα πρώτα έξι κεφάλαια {1-6} παρουσιάζεται η θεωρία για συναρτήσεις μιας μεταβλητής με έμφαση σε θέματα κυρτότητας και βελτιστοποίησης.

II. Στα επόμενα επτά κεφάλαια {7-13} παρουσιάζεται η αντίστοιχη θεωρία για συναρτήσεις δύο και περισσοτέρων μεταβλητών, με έμφαση σε θέματα που αφορούν ισοσταθμικές, (οιονεί) κυρτότητα και βελτιστοποίηση.

Γραμμική ?λγεβρα

Αποτελείται από δεκαέξι κεφάλαια που καλύπτουν την βασική θεωρία των διανυσματικών χώρων και των πινάκων, ως εξής:

III. Στα πρώτα οκτώ κεφάλαια {14-21}, αρχίζοντας με τον αλγόριθμο Gauss-Jordan παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες των διανυσματικών χώρων (υπόχωροι, βάσεις, ορθογωνιότητα, Gram-Schmidt ορθογωνοποίηση), και των πινάκων (τάξη, γραμμοχώρος, στηλοχώρος, αντίστροφος, ορίζουσα). Στη συνέχεια τα παραπάνω εντάσσονται στο γενικότερο πλαίσιο των γραμμικών απεικονίσεων, όπου παρουσιάζονται οι τέσσερεις βασικοί υπόχωροι που συνδέονται με τον πυρήνα και την εικόνα, και εξετάζονται οι σχέσεις ισοδυναμίας και ομοιότητας πινάκων στο πλαίσιο της αλλαγής βάσεων.

IV. Στα επόμενα οκτώ κεφάλαια {22-29} εξετάζονται ορισμένες ειδικές κατηγορίες πινάκων (συμμετρικοί, ορθογώνιοι, ισομετρίες, προβολές, ανακλάσεις), με βασικό εργαλείο τις πραγματικές ιδιοτιμές. Επίσης καλύπτονται ελεύθερες και περιορισμένες τετραγωνικές μορφές. Τέλος δίνεται η βασική θεωρία των μιγαδικών πινάκων, μιγαδικών ιδιοτιμών και πινάκων Jordan, και εξετάζονται πρόσθετες κατηγορίες πινάκων (κανονικοί, ερμητιανοί, αντιερμητιανοί, ορθομοναδιαίοι). Μελετώνται και κάποιες ιδιότητες σύγκλισης.

Γραμμική Δυναμική

Αποτελείται από οκτώ κεφάλαια που αφορούν κυρίως την δυναμική θεωρία των γραμμικών εξισώσεων και γραμμικών συστημάτων με σταθερούς συντελεστές, σε συνεχή και σε διακριτό χρόνο, με ιδιαίτερη έμφαση στη μελέτη ταλαντώσεων. Ειδικότερα:

V. Στα πρώτα τέσσερα κεφάλαια {30-33} παρουσιάζεται η σχετική θεωρία για διαφορικές εξισώσεις και συστήματα, σε συνεχή χρόνο.

VI. Στα επόμενα τέσσερα κεφάλαια {34-37} παρουσιάζεται η αντίστοιχη θεωρία για αναδρομικές εξισώσεις και συστήματα σε διακριτό χρόνο. Τα δύο τμήματα είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους με αποτέλεσμα να υπάρχει σημαντική αλληλοεπικάλυψη εννοιών και τεχνικών. Για οικονομία στην παρουσίαση μελετώνται μόνο συστήματα με δύο εξισώσεις. Για ορισμένα διαγράμματα χρησιμοποιήθηκε το MATHEMATICA.

Παράρτημα

Αποτελείται από είκοσι τέσσερα κεφάλαια που καλύπτουν ειδικά θέματα της θεωρίας και ορισμένες εφαρμογές σε προβλήματα της οικονομίας, ως εξής:

VII. Τα ειδικά θέματα περιέχονται στα πρώτα δέκα κεφάλαια {Π1-Π10}, από τα οποία τα δύο πρώτα αποτελούν μια εισαγωγή στην γεωμετρία του επιπέδου και του χώρου και είναι συνοδευτικά του Μαθηματικού Λογισμού και της Γραμμικής Αλγεβρας. Ακολουθούν κεφάλαια σε ειδικότερα θέματα του Μαθηματικού Λογισμού (σειρές Taylor, ελαστικότητα, ομογενείς συναρτήσεις, συνθήκες Kuhn-Tucker) και της Γραμμικής ?λγεβρας όπου η αντιμετώπιση είναι αλγοριθμική και περιλαμβάνει τις βασικές παραγοντοποιήσεις (L U,LDU,QR,RQ, Cholesky, SVD-ιδιάζουσα, πλήρους τάξης, πολική), καθώς και τους γενικευμένους αντιστρόφους (αμοιβαίο και Moore-Penrose). Υπάρχουν και δύο κεφάλαια εισαγωγής σε πιο προχωρημένα θέματα Γραμμικής Ανάλυσης (νόρμες, θετικοί πίνακες, θεωρήματα Perron-Frobenius).

VIII. Στα τελευταία δεκατέσσερα κεφάλαια {Π11-Π24} παρουσιάζονται απλές εφαρμογές σε θέματα Οικονομικής και Διοικητικής Επιστήμης (βασικές συναρτήσεις, μεγιστοποίηση κέρδους, βελτιστοποίηση στην παραγωγή και στην κατανάλωση, ελαστικότητα υποκατάστασης, ολιγοπώλια, βελτιστοποίηση διαχρονική και με αβεβαιότητα, ανατοκισμός σε διακριτό και σε συνεχή χρόνο, δυναμικά υποδείγματα τύπου Solow και IS-LM, συστήματα εισροών-εκροών τύπου Leontief, λήμματα Hotelling-Shephard). Τελειώνοντας θέλουμε να ευχαριστήσουμε τον συνεργάτη μας στο Τμήμα Πληροφορικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών Αναστάσιο Σούλη για την βοήθειά του σε όλα τα στάδια προετοιμασίας του βιβλίου, καθώς και τους μεταπτυχιακούς φοιτητές που βοήθησαν κατά καιρούς στη διδασκαλία του σχετικού μαθήματος στο τμήμα Οικονομικής Επιστήμης του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών: Βαβαρούτσο Γ., Δενδραμή Γ., Θεοχάρη Λ., Καζάνα Α., Κιουλάφα Μ., Λαπατίνα Α., Μπουλτσή Η., Σαμψώνη Κ., Φρατζέσκο Ε., Χρόνη Γ., Θεοχάρη Λ.

Παναγιώτης Κατερίνης    Ηλίας Φλυτζάνης