BookStation

Το βιβλίο ''Ανώτερα Μαθηματικά'' απευθύνεται σε προπτυχιακούς φοιτητές των πανεπιστημιακών σχολών που ενδιαφέρονται στις εφαρμογές των μαθηματικών, ιδίως σε θέματα Οικονομικών και Διοικητικών Επιστημών και Πληροφορικής, καθώς και σε όσους σκοπεύουν να παρακολουθήσουν ένα μεταπτυχιακό πρόγραμμα σαυτές τις κατευθύνσεις. Το περιεχόμενο αντιστοιχεί στην ύλη τριών εξαμήνων και καλύπτει Μαθηματικό Λογισμό, Γραμμική ?λγεβρα και Γραμμική Δυναμική. Το βιβλίο χωρίζεται σε τέσσερα μέρη, σε μεγάλο βαθμό ανεξάρτητα μεταξύ τους, ως εξής: Μαθηματικός Λογισμός Αποτελείται από δεκατρία κεφάλαια που καλύπτουν την βασική θεωρία της παραγώγου και του ολοκληρώματος συναρτήσεων, ως εξής: I. Στα πρώτα έξι κεφάλαια {1-6} παρουσιάζεται η θεωρία για συναρτήσεις μιας μεταβλητής με έμφαση σε θέματα κυρτότητας και βελτιστοποίησης. II. Στα επόμενα επτά κεφάλαια {7-13} παρουσιάζεται η αντίστοιχη θεωρία για συναρτήσεις δύο και περισσοτέρων μεταβλητών, με έμφαση σε θέματα που αφορούν ισοσταθμικές, (οιονεί) κυρτότητα και βελτιστοποίηση. Γραμμική ?λγεβρα Αποτελείται από δεκαέξι κεφάλαια που καλύπτουν την βασική θεωρία των διανυσματικών χώρων και των πινάκων, ως εξής: III. Στα πρώτα οκτώ κεφάλαια {14-21}, αρχίζοντας με τον αλγόριθμο Gauss-Jordan παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες των διανυσματικών χώρων (υπόχωροι, βάσεις, ορθογωνιότητα, Gram-Schmidt ορθογωνοποίηση), και των πινάκων (τάξη, γραμμοχώρος, στηλοχώρος, αντίστροφος, ορίζουσα). Στη συνέχεια τα παραπάνω εντάσσονται στο γενικότερο πλαίσιο των γραμμικών απεικονίσεων, όπου παρουσιάζονται οι τέσσερεις βασικοί υπόχωροι που συνδέονται με τον πυρήνα και την εικόνα, και εξετάζονται οι σχέσεις ισοδυναμίας και ομοιότητας πινάκων στο πλαίσιο της αλλαγής βάσεων. IV. Στα επόμενα οκτώ κεφάλαια {22-29} παρουσιάζονται καταρχήν ορισμένες ειδικές κατηγορίες πινάκων (συμμετρικοί, ορθογώνιοι, ισομετρίες, προβολές, ανακλάσεις), με βασικό εργαλείο τις πραγματικές ιδιοτιμές. Επίσης εξετάζονται ελεύθερες και περιορισμένες τετραγωνικές μορφές. Τέλος δίνεται η βασική θεωρία των μιγαδικών πινάκων, μιγαδικών ιδιοτιμών και πινάκων Jordan, εξετάζονται ορισμένες γενικότερες κατηγορίες πινάκων (κανονικοί, ερμητιανοί, αντιερμητιανοί, ορθομοναδιαίοι), και μελετώνται ιδιότητες σύγκλισης. Γραμμική Δυναμική Αποτελείται από οκτώ κεφάλαια που αφορούν την δυναμική θεωρία των γραμμικών εξισώσεων και γραμμικών συστημάτων με σταθερούς συντελεστές, σε συνεχή και σε διακριτό χρόνο, με ιδιαίτερη έμφαση στη μελέτη της ευστάθειας και των διαγραμμάτων ροής. Ειδικότερα: V. Στα πρώτα τέσσερα κεφάλαια {30-33} παρουσιάζεται η σχετική θεωρία για διαφορικές εξισώσεις και συστήματα, σε συνεχή χρόνο. VI. Στα επόμενα τέσσερα κεφάλαια {34-37} παρουσιάζεται η αντίστοιχη θεωρία για αναδρομικές εξισώσεις και συστήματα, σε διακριτό χρόνο. Τα δύο τμήματα είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους με αποτέλεσμα να υπάρχει σημαντική αλληλοεπικάλυψη εννοιών και τεχνικών. Για οικονομία στην παρουσίαση μελετώνται μόνο συστήματα με δύο εξισώσεις. Ειδικά Θέματα Αποτελείται από δεκατρία κεφάλαια που καλύπτουν ειδικότερα θέματα, ως εξής: VII. Τα πρώτα δύο κεφάλαια (Ε1,Ε2) είναι εισαγωγικά για την γεωμετρία του επιπέδου και του χώρου και είναι συνοδευτικά του Μαθηματικού Λογισμού και της Γραμμικής ?λγεβρας. Ακολουθούν τρία κεφάλαια (Ε3-Ε5) σε ειδικότερα θέματα του Μαθηματικού Λογισμού (σειρές Taylor, ελαστικότητα, ομογενείς συναρτήσεις) και τέσσερα (Ε6-Ε9) της Γραμμικής ?λγεβρας (παραγοντοποιήσεις πινάκων, γενικευμένοι αντίστροφοι), όπου η αντιμετώπιση είναι αλγοριθμική και περιλαμβάνει τον αμοιβαίο και τον Moore-Penrose γενικευμένο αντίστροφο, καθώς και τις βασικές παραγοντοποιήσεις (LU, LDU, QR, RQ, Cholesky, SVD -ιδιάζουσα, πλήρους τάξης, πολική). Υπάρχουν και δύο κεφάλαια εισαγωγής σε πιο προχωρημένα θέματα Γραμμικής Ανάλυσης (νόρμες, θετικοί πίνακες, θεωρήματα Perron-Frobenius). Στα επόμενα τρία (Ε10-Ε12) παρουσιάζονται κάποιες εφαρμογές σε θέματα δυναμικής στην οικονομική επιστήμη, ανατοκισμός σε διακριτό και σε συνεχή χρόνο, εξέλιξη πληθυσμών, δυναμικά υποδείγματα τύπου Solow, συστήματα εισροών-εκροών τύπου Leontief. Στο τελευταίο κεφάλαιο (Ε13) γίνεται μια εισαγωγή στον Μαθηματικό Προγραμματισμό. Τα δύο χωρία από την αρχαία ελληνική γραμματεία μας υπέδειξε ο φίλος Μιχάλης Ζ. Κοπιδάκης. Τελειώνοντας, θέλουμε να ευχαριστήσουμε τον συνεργάτη μας στο Τμήμα Πληροφορικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών Αναστάσιο Σούλη για την βοήθειά του σε όλα τα στάδια προετοιμασίας του βιβλίου, καθώς και τους μεταπτυχιακούς φοιτητές που βοήθησαν κατά καιρούς στη διδασκαλία του σχετικού μαθήματος στο τμήμα Οικονομικής Επιστήμης του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών: Βαβαρούτσο Γ., Δενδραμή Γ., Θεοχάρη Λ., Καζάνα Α., Κιουλάφα Μ., Λαπατίνα Α., Μπουλτσή Η., Σαμψώνη Κ., Τσομίδη Γ., Φρατζέσκο Ε., Χρόνη Γ.

Αθήνα

Παναγιώτης Κατερίνης, Ηλίας Φλυτζάνης